切比雪夫多项式

切比雪夫多项式的最初根源其实是从 $\cos$ 的多倍角公式，但其优秀性质却被用在了多项式绝对值最大值中的最小值。

有无标号球盒计数问题

经常遇到有/无标号的 $n$ 个球放入 $m$ 个有/无标号盒，允许/不允许盒有空的方案数一类问题。
每次遇到都算一遍未免有些不直接，搞来搞去最后搞得组合数定义都咬不准了，所以还得整理一下。

所有十进制数位中不含2的正整数的倒数和

$x\ge1$，首先证明个简单的引理：

随机变量，以及它们的期望和方差

前置知识

期望 $E[X]$ 即概率的加权平均。
期望具有线性，$E[ax+b]=aE[x]+b$。
方差 $Var[x]=E[X^2]-E^2[x]$。
类似的，$Var[ax+b]=a^2Var[x]$。

O 有几种写法？

\mathbb O
$\mathbb O$

Epigrams on Programming

Author：Alan J. Perlis, Yale, September 1980

普通生成函数

普通生成函数是让一个序列（可以是有限序列，可以是无限序列）的第 $i$ 项 $a_i(i\ge0)$ 作为 $x^i$ 的系数。
序列 $[2,3,4,5]$ 用生成函数表达就是 $2+3x+4x^2+5x^3$。
序列 $[1,3,5,7,\ldots]$ 用生成函数表达就是 $\sum\limits_ {i=0}^\infty(2i+1)x^i$。

环形染色问题

一个大小为 $n$ 的圆环（环上的点有编号）需要用 $m$ 种颜色进行染色（每种颜色不必全都使用），要求相邻两个点的的颜色不同，有多少种染色方案？

错排

定义

错排，也就是全错的排列，即长度为 $n$ 的排列满足 $\forall i,a_i\ne i$ 的方案数。
一般采用 $d_n$ 表示错排。

对二项式定理求导