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一些抽卡问题的期望
你正在玩神原，你对抽卡问题很感兴趣。
有 $n$ 名角色需要收集，每次随机等概率从 $n$ 名中获得一个，可能会重复获得，需要抽 $X$ 次才能全部收集 $n$ 名角色，求 $\mathbb E[X]$。
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常系数线性非齐次递推
\[a_n=(\sum_{i=1}^{k_0}c_ia_{n-i})+\sum_{i=1}F_i(n)\\ F_i(n)=(\sum_{j=0}^{k_i}d_{i,j}n^j)s_i^n\\\]
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裂项 TRICK
\[\begin{aligned} \frac1{n^\frac12}&=\frac{2}{\sqrt n+\sqrt n}\\ &<\frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt n}\\ &=2(-\sqrt{n-1}+\sqrt n) \end{aligned}\]
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切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的最初根源其实是从 $\cos$ 的多倍角公式，但其优秀性质却被用在了多项式绝对值最大值中的最小值。
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有无标号球盒计数问题
经常遇到有/无标号的 $n$ 个球放入 $m$ 个有/无标号盒，允许/不允许盒有空的方案数一类问题。
每次遇到都算一遍未免有些不直接，搞来搞去最后搞得组合数定义都咬不准了，所以还得整理一下。
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所有十进制数位中不含2的正整数的倒数和
$x\ge1$，首先证明个简单的引理：
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随机变量，以及它们的期望和方差
前置知识
期望 $E[X]$ 即概率的加权平均。
期望具有线性，$E[ax+b]=aE[x]+b$。
方差 $Var[x]=E[X^2]-E^2[x]$。
类似的，$Var[ax+b]=a^2Var[x]$。
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O 有几种写法？
\mathbb O
$\mathbb O$
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Epigrams on Programming
Author：Alan J. Perlis, Yale, September 1980
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普通生成函数
普通生成函数是让一个序列（可以是有限序列，可以是无限序列）的第 $i$ 项 $a_i(i\ge0)$ 作为 $x^i$ 的系数。
序列 $[2,3,4,5]$ 用生成函数表达就是 $2+3x+4x^2+5x^3$。
序列 $[1,3,5,7,\ldots]$ 用生成函数表达就是 $\sum\limits_ {i=0}^\infty(2i+1)x^i$。