随机作业20240503

$f(x)=a\ln x-x+b$。若 $f(x)\ge kx-x\ln x-a$ 对 $\forall a\in[1,2],x\in[1,\mathrm e]$ 恒成立，则记最大的 $k$ 为 $c$。当 $b\in[1,2]$ 时，求 $b+c$ 取值范围。

C++ 不存在的运算符~

趋向运算符

--> 在 while 中使用，表示趋向。

熵

熵的定义

有许多角度来理解熵，这里采用惊奇来引入。
抛一枚硬币显示正面平平无奇，但原神单抽出金（概率为 $0.007$）就令人震惊。
这里我们试图把事件的惊奇程度进行量化，这里使用函数 $S(x)$ 来表示，$x$ 表示事件发生的概率。

鞅

鞅

称随机变量序列 $Z_0,Z_1,\cdots$ 是关于 $X_0,X_1,\cdots$ 的鞅，如果对于所有 $n\ge0$，下列条件成立。

• $Z_n$ 是 $X_0,X_1,\cdots,X_n$ 的函数
• $\mathbb E[\vert Z_n\vert]<\infty$
• $\mathbb E[Z_{n+1}\vert X_0,X_1,\cdots,X_n]=Z_n$

概率方法

期望求得上下界

$f(x)$ 是定义在 $A$ 上的函数。
若随机变量 $X\in A$，显然 $\min\limits_{x\in A}f(x)\le\mathbb E[f(X)]\le\max\limits_{x\in A}f(x)$。
如果 $X$ 不为常数，那么 $\min\limits_{x\in A}f(x)<\mathbb E[f(X)]<\max\limits_{x\in A}f(x)$。
这样就通过计算期望获得了 $f(x)$ 的一个上界和下界。

随机策略下合作能获得更多期望

$m+2$ 个人进行游戏。随机抛一枚均匀硬币 $n$ 次（$n$ 为奇数），每个人都要作出 $n$ 次猜测正反。猜对次数最多的那些人会平分 $m+2$ 元。若无人猜对任何一次，则无人获奖。
由于正反均匀，所以 $m$ 个人均采取随机猜测。但是，有两人决定合作。他们的策略是其中一人随机猜测，另外一人的每次猜测都与他相反。最后，这两个人将获得 $X$ 元，求 $\mathbb E[X]$。

《木兰花慢・游三台》《铜雀台》读后感

《木兰花慢・游三台》　〔金〕元好问
渺漳流东下，流不尽，古今情。记海上三山，云中双阙，当日南城。黄星。几年飞去，澹春阴、平野草青青。冰井犹残石甃，露盘己失金茎。　　风流千古短歌行，慷慨缺壶声。想酾酒临江，赋诗鞍马，词气纵横。飘零。旧家王粲，似南飞、乌鹊月三更。笑杀西园赋客，壮怀无复平生。

一些抽卡问题的期望

你正在玩神原，你对抽卡问题很感兴趣。
有 $n$ 名角色需要收集，每次随机等概率从 $n$ 名中获得一个，可能会重复获得，需要抽 $X$ 次才能全部收集 $n$ 名角色，求 $\mathbb E[X]$。

常系数线性非齐次递推

裂项 TRICK