如果甲出剪刀，乙出剪刀平，乙出石头乙胜。
如果甲出石头，乙出剪刀乙输，乙出石头平。
所以不管甲出什么，乙出石头总是好过剪刀的，也就是说，乙不出剪刀。

策略 乙出石头 $y$ 乙出布 $1-y$
甲出石头 $x$ $xy$ $x(1-y)$
甲出剪刀 $1-x$ $(1-x)y$ $(1-x)(1-y)$

记随机变量 $X$ 为甲获胜的示性变量。那么 $\mathbb E[X]=-x(1-y)-(1-x)y+(1-x)(1-y)=1-2x-2y+3xy$。
记随机变量 $X$ 为乙获胜的示性变量。那么 $\mathbb E[Y]=-\mathbb E[X]=-1+2x+2y-3xy$。

由于纳什均衡，如果甲选定策略后，不管乙怎么修改策略，甲的期望都是不变的。也就是说

\[\begin{aligned} \frac{\partial\mathbb E[X]}{\partial y}&=0\\ -2+3x&=0\\ x&=\frac23 \end{aligned}\]

同理，$\mathbb E[Y]$ 对 $x$ 偏导

\[\begin{aligned} \frac{\partial\mathbb E[Y]}{\partial x}&=0\\ 2-3y&=0\\ y&=\frac23 \end{aligned}\]
  • 甲出石头概率 $\frac23$，剪刀 $\frac13$，期望 $-\frac13$；
  • 乙出石头概率 $\frac23$，布 $\frac13$，期望 $+\frac13$。

值得注意的是，必须提前讨论 $\mathbb P(\texttt{乙出剪刀})=0$。因为概率为 $0$ 后就不需要满足偏导为 $0$ 了。如果不去讨论这个，会解不出。记 $\mathbb P(\texttt{甲出石头})=x,\mathbb P(\texttt{乙出石头})=y,\mathbb P(\texttt{乙出剪刀})=z$。

\[\begin{cases} 3y+3z-2=0\\ 3x-1=0\\ 3x-2=0 \end{cases}\]

运用纳什均衡还可以算出石头剪刀布中不管对手采取什么策略，我方均匀随机出石头剪刀布是赢的概率最大的。

策略 石头 $x$ 剪刀 $y$ 布 $1-x-y$
石头 $a$ $0$ $ay$ $-a(1-x-y)$
剪刀 $b$ $-bx$ $0$ $b(1-x-y)$
布 $1-a-b$ $(1-a-b)x$ $-(1-a-b)y$ $0$

最后解出来 $a=b=x=y=\frac13$。