笔记 数学 切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的最初根源其实是从 $\cos$ 的多倍角公式，但其优秀性质却被用在了多项式绝对值最大值中的最小值。
| $n$ | $\cos$ | $T_n$ |
|---|---|---|
| $0$ | $\cos0$ | $T_0=1$ |
| $1$ | $\cos\theta=\cos\theta$ | $T_1=x$ |
| $2$ | $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ | $T_2=2x^2-1$ |
| $3$ | $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ | $T_3=4x^3-3x$ |
| $4$ | $\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1$ | $T_4=8x^4-8x^2+1$ |
| $n+1$ | $\cos(n+1)\theta=2\cos\theta\cos n\theta-\cos(n-1)\theta$ | $T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}$ |
因为是 $\theta$ 的和角，所以 $T_n$ 的第 $i$ 个根是 $\cos(\frac{2i-1}{2n}\pi)$。
同理还可以得出 $T_n$ 在 $[-1,1]$ 中有 $n+1$ 个极值点 $x_i=\cos(\frac in\pi),i\in[0,n]\cap\mathbb Z$，并且 $T_n(x_i)=(-1)^i$。
性质：首项系数为 $1$ 的 $n$ 次多项式 $f(x)$ 一定存在 $x_0\in[-1,1]$ 满足 $\vert f(x)\vert\ge\frac1{2^{n-1}}$。
证明可以采取反证法，设 $F(x)=2^{n-1}f(x)$，那么假设 $\vert F(x)\vert<1$。
$F(x)-T_n(x)$ 是个 $n-1$ 次的多项式，因为第 $n$ 次被抵消了。
$x=\cos(\frac in\pi),i\in[0,n]\cap\mathbb Z$ 时，$T_n(x)$ 的取值在 $1$ 和 $-1$ 中交替变换。因为 $\vert F(x)\vert<1$，所以 $F(x)-T_n(x)$ 的符号由 $T_n$ 来决定，相邻两项的符号也交替变换，$n+1$ 个 $x_i$ 带来了 $n$ 个零点。
$F(x)-T_n(x)$ 这个 $n-1$ 次多项式存在 $n$ 个零点，这只能说明 $F(x)=T_n(x)$ 恒成立。
但是必然存在 $x$ 使得 $T_n=1$ 成立，但是我们已经假设 $F(x)<1$ 了，产生矛盾，假设不成立。
带入 $T_n$，得到当 $f(x)$ 是 $T_n$ 时取等。
对上面的性质进行平移伸缩可以得到这个结论：若 $f(x)$ 为 $n$ 次多项式，其最高项为 $ax^n$，定义域为 $D$，值域为 $I$，则
\[\min_{x\in D}\vert f(x)\vert_{\max}=\frac{\vert I\vert}2=2^{1-2n}\vert a\vert\vert D\vert^n\] \[\frac{\vert I\vert}2\ge2^{1-2n}\vert a\vert\vert D\vert^n\]取等条件为 $f(x)$ 是 $T_n(x)$ 经过平移伸缩使得定义域为 $D$ 的函数。
也就是说，一个多项式，它的值就像被它的次数和最高项系数还有定义域「下毒」了。这就是切比雪夫多项式的高妙之处，得到了这个反直觉结论。
$f(x)=2x^2+bx+c$，当 $x\in[0,2]$ 时，求 $\min\vert f(x)\vert_{\max}$。
\[\begin{aligned} \min\vert f(x)\vert_{\max}&=2^{1-2n}\vert a\vert\vert D\vert^n\\ &=2^{1-2\times2}\vert2\vert2^2\\ &=1 \end{aligned}\]$f(x)=x^2+ax+b-2$ 在 $x\in[1,3]$ 上 $\vert f(x)\vert\le\frac12$ 恒成立，求 $a,b$。
注意到 $\min\vert f(x)\vert_{\max}=2^{1-2n}\vert a\vert\vert D\vert^n=\frac12$，所以 $a,b-2$ 就是 $T_2$ 的 $1,0$ 次项系数。
为了取等，得把 $T_2$ 的定义域右移 $2$，同时为了使最高项系数 $[x^2]T_2=2$ 与 $[x^2]f(x)=1$ 对应 还要乘 $\frac12$。
也就是说，$f(x)=\frac12T_2(x-2)$，展开后解出 $a=-4,b=\frac{11}2$ 即可。
$f(x)=ax^2+bx+c$，当 $0\le x\le\frac12$ 时，$f(x)\in[2,4]$，求 $a_{\max}$。
\[\begin{aligned} \frac{\vert I\vert}2&\ge2^{1-2n}\vert a\vert\vert D\vert^n\\ \frac{4-2}2&\ge2^{1-2\times2}\vert a\vert (\frac12)^2\\ \vert a\vert&\le32\\ a_{\max}&=32 \end{aligned}\]$f(x)=ax^2+bx+c$，对于任意 $x\in[0,1]$ 满足 $\vert f(x)\vert\le1$，求 $\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert $ 的最大值。
不妨把 $a,b,c$ 用 $3$ 个 $f(x)$ 去表示出来，这里选取 $0,\frac12,1$。
- $a=2f(1)-4f(\frac12)+2f(0)$
- $b=-f(1)+4f(\frac12)-3f(0)$
- $c=f(0)$
由于绝对值的性质 $\vert x+y\vert\le\vert x\vert+\vert y\vert $，所以 $\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert\le2\vert f(1)\vert+4\vert f(\frac12)\vert+2\vert f(0)\vert+\vert f(1)\vert+4\vert f(\frac12)\vert+3\vert f(0)\vert+\vert f(0)\vert $。
因为 $\vert f(x)\vert\le1$，所以 $\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert\le17$。
为了使等号成立，要使 $\vert f(0)\vert =\vert f(\frac12)\vert =\vert f(1)\vert =1$ 成立。
这个时候想起了切比雪夫多项式的极值点，所以先去根据定义域和值域构造切比雪夫多项式 $g(x)=T_2(2x-1)=8x^2-8x+1$。
观察到 $0,\frac12,1$ 恰好是 $\vert g(x)\vert =1$ 的解，上面的三个数并不是随便选取的。
因为是极值点，所以 $\vert f(0)\vert =\vert f(\frac12)\vert =\vert f(1)\vert =1$ 成立，等号可以取到，即 $(\vert a\vert+\vert b\vert+\vert c\vert )_{\max}=17$。
不过可以这么做的充分条件是 $D$ 上不变号。
证明可以采取拉格朗日插值法插出多项式，如果变号就不能满足极值点正负交替的性质，也就是说无法取等，还存在比切比雪夫多项式更小的系数绝对值之和。
$\vert x^2+px+q\vert\le2$ 在 $x\in[1,5]$ 上恒成立，求 $\sqrt{p^2+q^2}$ 值。
注意到 $\min\vert f(x)\vert _{\max}=2^{1-2n}\vert a\vert\vert D\vert^n=2$，所以 $f(x)$ 是 $T_2$ 经过平移伸缩后的函数。
平移定义域得到 $f(x)=2T_2(\frac{x-3}2)=x^2-6x+7$，所以 $\sqrt{p^2+q^2}=\sqrt{85}$。