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熵
熵的定义
有许多角度来理解熵，这里采用惊奇来引入。
抛一枚硬币显示正面平平无奇，但原神单抽出金（概率为 $0.007$）就令人震惊。
这里我们试图把事件的惊奇程度进行量化，这里使用函数 $S(x)$ 来表示，$x$ 表示事件发生的概率。
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鞅
鞅
称随机变量序列 $Z_0,Z_1,\cdots$ 是关于 $X_0,X_1,\cdots$ 的鞅，如果对于所有 $n\ge0$，下列条件成立。
- $Z_n$ 是 $X_0,X_1,\cdots,X_n$ 的函数
- $\mathbb E[\vert Z_n\vert]<\infty$
- $\mathbb E[Z_{n+1}\vert X_0,X_1,\cdots,X_n]=Z_n$
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概率方法
期望求得上下界
$f(x)$ 是定义在 $A$ 上的函数。
若随机变量 $X\in A$，显然 $\min\limits_{x\in A}f(x)\le\mathbb E[f(X)]\le\max\limits_{x\in A}f(x)$。
如果 $X$ 不为常数，那么 $\min\limits_{x\in A}f(x)<\mathbb E[f(X)]<\max\limits_{x\in A}f(x)$。
这样就通过计算期望获得了 $f(x)$ 的一个上界和下界。
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随机策略下合作能获得更多期望
$m+2$ 个人进行游戏。随机抛一枚均匀硬币 $n$ 次（$n$ 为奇数），每个人都要作出 $n$ 次猜测正反。猜对次数最多的那些人会平分 $m+2$ 元。若无人猜对任何一次，则无人获奖。
由于正反均匀，所以 $m$ 个人均采取随机猜测。但是，有两人决定合作。他们的策略是其中一人随机猜测，另外一人的每次猜测都与他相反。最后，这两个人将获得 $X$ 元，求 $\mathbb E[X]$。
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《木兰花慢・游三台》《铜雀台》读后感
《木兰花慢・游三台》 〔金〕元好问
渺漳流东下，流不尽，古今情。记海上三山，云中双阙，当日南城。黄星。几年飞去，澹春阴、平野草青青。冰井犹残石甃，露盘己失金茎。 风流千古短歌行，慷慨缺壶声。想酾酒临江，赋诗鞍马，词气纵横。飘零。旧家王粲，似南飞、乌鹊月三更。笑杀西园赋客，壮怀无复平生。
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一些抽卡问题的期望
你正在玩神原，你对抽卡问题很感兴趣。
有 $n$ 名角色需要收集，每次随机等概率从 $n$ 名中获得一个，可能会重复获得，需要抽 $X$ 次才能全部收集 $n$ 名角色，求 $\mathbb E[X]$。
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常系数线性非齐次递推
\[a_n=(\sum_{i=1}^{k_0}c_ia_{n-i})+\sum_{i=1}F_i(n)\\ F_i(n)=(\sum_{j=0}^{k_i}d_{i,j}n^j)s_i^n\\\]
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裂项 TRICK
\[\begin{aligned} \frac1{n^\frac12}&=\frac{2}{\sqrt n+\sqrt n}\\ &<\frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt n}\\ &=2(-\sqrt{n-1}+\sqrt n) \end{aligned}\]
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切比雪夫多项式
切比雪夫多项式的最初根源其实是从 $\cos$ 的多倍角公式，但其优秀性质却被用在了多项式绝对值最大值中的最小值。
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有无标号球盒计数问题
经常遇到有/无标号的 $n$ 个球放入 $m$ 个有/无标号盒，允许/不允许盒有空的方案数一类问题。
每次遇到都算一遍未免有些不直接，搞来搞去最后搞得组合数定义都咬不准了，所以还得整理一下。