如果题目询问的是一个随机排列的序列，不妨给每个元素都随机一个 $[0,1]$ 的权值。

例题：$5$ 个红球、$10$ 个黑球和 $5$ 个白球排成一排，求先取完红球的概率。

不妨枚举 $x$，钦定所有红球的权值都 $<x$，而黑球、白球都至少有一个球 $>x$。
这样会重复数，不妨钦定所有红球的权值的最大值为 $x$，而黑球、白球都至少有一个球 $>x$。
所有红球的权值都 $<x$ 的概率是 $x^5$，对其做一次差分，那就是得到最大值是 $x$ 的概率为 $4x^4$。
黑球至少有一个球 $>x$ 的概率是 $(1-x^{10})$，白球至少有一个球 $>x$ 的概率是 $(1-x^5)$。

答案就只要累加起来就行了

\[\int_0^15x^4(1-x^{10})(1-x^5)\mathrm dx=\frac5{12}\]

后面等我找到野生题再说吧~