逆元

若 $ax=1\pmod p$，那么称 $a$ 是 $x$ 的逆元，显然 $x$ 也是 $a$ 的逆元。
两边同时除以 $a$ 得到 $x=\frac1a\pmod p$，可以写成 $x=a^{-1}\pmod p$，这么看来，乘法逆元就是取模意义下的倒数啊。

若 $p$ 为质数，$0$ 没有逆元，$1$ 的逆元是 $1$，$p-1$ 的逆元是 $p-1$。其他都是一对一对的逆元，证明可见「裴蜀定理」。
为啥 $p-1=\frac1{p-1}\pmod p$ 呢？直观解释是负负得正 $-1=\frac1{-1}$，另一种解释是 $1=p^2-2p+1=(p-1)^2\pmod p$。

暴力求解

$ax=1\pmod p$ 是个线性同余方程。解 $x$ 必然 $\in[0,p-1]$，所以直接暴力寻找可能的 $x$。
单次复杂度 $\mathcal O(p)$。

费马小定理

前置条件：$p$ 为质数。

求解 $x$ 就是计算 $a^{-1}$。
根据费马小定理，若 $p$ 为质数，则 $a^{p-1}=1\pmod p$，将等式两边同时乘 $a^{-1}$ 就可以得到 $a^{p-2}=a^{-1}$，快速幂求解。
单次复杂度 $\mathcal O(\log p)$。

欧拉定理

费马小定理可以看作欧拉定理的特殊情况。
根据欧拉定理，若 $\gcd(a,p)=1$，则 $a^{\varphi(p)}=1\pmod p$，将等式两边同时乘 $a^{-1}$ 就可以得到 $a^{\varphi(p)-1}=a^{-1}$。
单次复杂度由 $\varphi$ 的求解方法确定，从 $\mathcal O(\sqrt p)\sim\mathcal O(\log p)$ 均有可能。

拓展欧几里得

$ax=1\pmod p$ 可以转化为 $ax+pk=1$，其中 $a,p$ 已知，需要求一组 $x,k$ 使得 $x\in[0,p-1]$。
通过裴蜀定理可得存在一组 $x,k$ 使得 $ax+pk=\gcd(a,p)$。所以若 $\gcd(a,p)=1$，那么 $ax+pk=1$ 必然有解。根据解的周期性可知必然存在一个解使得 $x\in[0,p-1]$。所以逆元存在的充分条件是 $\gcd(a,p)=1$。
求解 $ax+pk=1$ 可以采用拓展欧几里得的方法求解。

前缀积

$\binom nm=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，类似的，$\frac1a=\frac{(a-1)!}{a!}$。
通过前缀积预处理出 $1!,2!\ldots(a-1)!,a!$，求出 $a!$ 的逆元 $\frac1{a!}$，再一路循环回去 $\frac1i=\frac{i+1}{(i+1)!}$ 就可以求出所有阶乘和阶乘的逆元。而且这个方法对于求 $\frac1{\prod_{i=l}^ri},1\le l\le r<p$ 也是在常数时间内完成，
求出 $[1,n]$ 中所有逆元的复杂度是 $\mathcal O(n+\log p)$。

线性求逆元

\[\begin{aligned} p&=0\pmod p\\ \lfloor\frac pa\rfloor\times a+p\bmod a&=0\pmod p\\ \frac{\lfloor\frac pa\rfloor}{p\bmod a}+\frac1a&=0\pmod p\\ \frac1a&=-\frac{\lfloor\frac pa\rfloor}{p\bmod a}\pmod p \end{aligned}\]

发现要求出 $\frac1a$ 必须得求出 $\frac1{p\bmod a}$，可以使用数组递推下去也可以直接递归求解。
求出 $[1,n]$ 中所有逆元的复杂度是 $\mathcal O(n)$。
若递归求解，已知时间复杂度上界为 $\mathcal O(n^{\frac13})$，下界为 $\Omega(\frac{\log n}{\log\log n})$。有人猜想其复杂度为 $\mathcal O(\log^2n)$。不过在 int 范围内可以近似看作单 $\log$ 倒是真的。

模数 $p$ $998244353$ $10^9+7$ $10^9+9$
$n=10^6$ 的递归次数 $30$ $31$ $29$
$n=10^7$ 的递归次数 $35$ $39$ $35$
$n=10^8$ 的递归次数 $40$ $45$ $42$

线性筛

若 $t\mid a$，那么 $\frac1a=\frac1t\times\frac1{\frac at}$。 借助线性筛筛出 $[1,n]$ 的所有质数以及他们的逆元。在线性筛时，每个数 $i$ 只会被自己的最小质因子 $\operatorname{mpf}(i)$ 筛到，所以计算 $\frac1{\operatorname{mpf}(i)}\times\frac1{\frac i{\operatorname{mpf}(i)}}$ 就行了。
若求出 $[1,n]$ 中所有逆元，线性筛的复杂度为 $\mathcal O(n)$，只有 $[1,n]$ 中的质数需要计算逆元，质数个数约为 $\frac n{\ln n}$，每个的计算复杂度为 $\log p$，所以总复杂度为 $\mathcal O(n+\frac{n\log p}{\ln n})$，近似于线性。